Шрифт:
.
D
Наконец, интеграл общего вида сводится к только что изученным интегралам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента k. Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в приложении Б (а также многие другие), в пространстве произвольной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата
d
D
k
-
(k
2
)
r
=
i
(-1)
r-m
·
(r+D/2)(m-r-D/2)
(2)
D
(k
2
– a
2
)
m
(4)
D/2
(D/2)(m)(a
2
)
m-r-D/2
Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2<=0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции (m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию (D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию (4)=1. Такая свобода в выборе функции (D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).
Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D->4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор g в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение g=g=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака 0, 1,…, D-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы представляют собой матрицы размерности 2D/2x2D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы имеют размерность 4x4, так что r=4g; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)
Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы 5 в D-мерном пространстве. Например, если матрицу 5 определить в виде 5=i0123, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D<4. Можно показать, что определение матрицы 5 в виде 5=i0…D-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:
5
=
i
D
,
4!
где тензор D совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор D не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий
2
=1,
r
5
=0.
5
(см- приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.
Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:
d
4
k
->
d
D
k
·
(2)
4
(2)
D
При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:
d
4
k
->
d
4
k
d
D
k
4-D
0
, D=4-,
(2)
4
(2)
D
(7.1а)
где
k
=
4/D-1
k
/2.