«Что за чертовщина в этих рассуждениях? — возопил тут Пётр.— Теперь получается, что Павел должен был постареть на 1,96 года за время моего путешествия туда и на 1,96 года за время моего путешествия обратно, т.е. в общем на 3,92 года. И при этом я знаю, что я постарел на 14 лет, и я знаю, что он постарел ещё больше на самом деле! Что же я упустил из виду?» При этом он нарисовал диаграмму пространства-времени (рис. 71), и вот тут-то разрешилось его противоречие — он заметил, что до сих пор не учитывал отрезка времени AB. Пётр обнаружил, что учёт этого времени соответствует поправке, необходимой при переходе между системами одновременности в удаляющейся и возвращающейся системах отсчёта. Отдельный расчёт, базирующийся на выводах из упражнения 11, даёт для этого отрезка времени значение в 46,08 года. Такую поправку следует добавить к времени, прошедшему у Павла, которое было измерено двумя последовательными системами хронографов Петра. Тогда Пётр смог окончательно вычислить возраст Павла (включая 21 год — возраст последнего к началу путешествия):

21+1,96+46,08+1,96

=

71 год.

Сам же он мог радоваться своей относительной молодости:

21+14

=

35 лет.

(без поправки на то время, которое понадобилось ему, чтобы разобраться в теории относительности!).

Приведённые рассуждения не претендуют на то, чтобы их считали простейшим способом вычисления возраста близнецов. Проще всего — это вернуться к рассуждениям Павла, изложенным в упражнении 27. В них достаточно рассматривать одну-единственную инерциальную систему отсчёта, а именно ту, в начале пространственных координат которой расположен Павел. Новые рассуждения иллюстрируют лишь, как любой корректный путь расчёта приводит к одному и тому же корректному результату.

3. ВИНЕГРЕТ

50. Сокращение или поворот 1)?

1) Более подробный анализ этой проблемы, а также ссылки на литературу можно найти в книге Edwin F. Taylor, Introductory Mechanics, John Wiley and Sons, New York, 1963, p. 346.

Рассмотрим куб, покоящийся в системе отсчёта ракеты, каждое ребро которого в этой системе имеет длину 1 м. В лабораторной системе отсчёта этот куб подвергается лоренцеву сокращению, как показано на рис. 72. Обнаружить такое лоренцево сокращение можно, например, определяя положение четырёх часов, которые покоятся в лабораторной системе отсчёта и синхронизированы в ней, причём четыре угла куба, E, F, G и H совпадают с соответствующими часами, когда все четверо часов показывают одно и то же время. При этом процесс наблюдения не осложняется учётом времени, которое требуется свету, чтобы пройти пути от разных углов куба. Рассмотрим теперь другой способ наблюдения!

Рис. 72. Положение глаза наблюдателя, визуально исследующего пролетающий мимо него «куб».

Встанем в лабораторной системе отсчёта и будем смотреть на куб одним глазом в то время, когда куб пролетает перед нами (рис. 72). Что мы видим в каждый данный момент времени? — Тот свет, который приходит в наш глаз в этот момент, даже если этот свет вышел из разных углов куба в разное время. Значит, то, что человек наблюдает визуально, может быть совсем иным, чем то, что он наблюдает с помощью часовой сети. Если мы смотрим на куб снизу, то расстояние GO равно расстоянию HO, так что свет, одновременно вышедший из точек G и H, одновременно достигнет и глаза O. Поэтому, глядя на куб снизу, мы увидим лоренцево сокращение дна куба.

а) Свет из точки E, приходящий в O одновременно со светом из G, должен быть испущен из E раньше, чем свет из G. Насколько раньше? Какой путь пройдёт куб за это время? Чему равно расстояние x на рис. 73?

Рис. 73. Что видит наблюдатель, смотря снизу вверх.

б) Предположим, что некто решил истолковать видимую проекцию куба на рис. 73 как его поворот, а не лоренцево сокращение. Найдите выражение, описывающее угол такого кажущегося поворота не подвергнутого сокращению куба на рис. 74. Исследуйте это выражение в двух предельных случаях: ->0 и ->1.

Рис. 74. Как этот наблюдатель может истолковать свои визуальные наблюдения (проекцию рис. 73).

в) Соответствует ли выражение «на самом деле» реальному положению вещей в следующих высказываниях:

1) Наблюдатель в системе отсчёта ракеты говорит: «Мой куб на самом деле не подвергся ни повороту, ни сокращению».

2) Наблюдатель, пользующийся часовой сеткой лабораторной системы отсчёта, говорит: «Этот куб на самом деле подвергся лоренцеву сокращению, а не повороту».

3) Зритель, визуально проводящий наблюдения в лабораторной системе отсчёта, утверждает: «Куб на самом деле повернулся, а не претерпел лоренцево сокращение».

Как сформулировать в одной или двух фразах корректное высказывание, которое показало бы каждому из этих наблюдателей, что его партнёры должны были прийти к иным заключениям, чем он?

51**. Парадокс часов. III

Можно ли улететь в место, удалённое на 7000 световых лет, и вернуться назад, постарев не более чем на 40 лет? «Да!»— к такому выводу пришёл инженер в правлении некой большой авиационной фирмы в своём последнем отчёте. Он рассмотрел путешественника, подвергающегося постоянному ускорению 1 g (или такому же торможению, в зависимости от этапа полёта; см. диаграмму пространства-времени на рис. 75). Верен ли его вывод при сделанных им предположениях? (Ради простоты, ограничьтесь анализом первого этапа путешествия, когда действует двигатель A, т.е. первыми десятью годами во времени астронавта, а затем удвойте пройденное при этом расстояние, чтобы узнать, какой путь проделан до самой дальней точки, достигнутой в путешествии).

Рис. 75. Мировая линия ракеты, движущейся по замкнутому пути с постоянным ускорением или торможением.

а) Ускорение не равно g=9,8 м/сек^2 относительно лабораторной системы отсчёта. Если бы оно было таким, то во сколько раз быстрее света двигался бы космический корабль к концу десятилетнего полёта? (1 год = 31,6·10 сек). Если мы определяем ускорение не по отношению к лабораторной системе отсчёта, то по отношению к чему же мы его определяем? Обсуждение. Взглянем на медицинские весы, на которых стоит астронавт. Двигатели корабля пусть будут давать такую тягу, чтобы весы всё время показывали правильный вес. При этих условиях астронавт всё время подвергался ускорению g=9,8 м/сек^2 по отношению к такому космическому кораблю, который: 1) был бы мгновенно сопутствующим первому, так чтобы их скорости в этот момент совпадали, однако 2) не подвергался бы ускорению и поэтому 3) мог бы быть принят за инерциальную (мгновенную) систему отсчёта, ускорение относительно которой равняется g (Начиная с этого места, мы переходим от g, выраженного в м/сек^2, к g*=g/c^2, выраженному в метрах пути за квадрат метров времени).