Рис. 68. Метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из системы отсчёта ракеты.

ж) Пусть метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта, причём одним концом упирается в начало её пространственных координат (рис. 68). Если измерять его длину в лабораторной системе отсчёта, то мы получим результат типа ab на рис. 68. Измеряя его длину в системе отсчёта ракеты (т.е. регистрируя положения его концов «в один и тот же момент времени»), мы получим результат типа de на том же рисунке. Покажите, что эти результаты измерений дают наблюдаемый эффект лоренцева сокращения в системе отсчёта ракеты. Переходя к рис. 69, покажите, что метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты и упирающийся одним концом в начало её пространственных координат, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

Рис. 69. Метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

з) Нарисуйте диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие относительность одновременности, замедление хода времени и лоренцево сокращение длин для тех предельных случаев, когда скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта очень мала или очень велика.

и) Вернёмся к рис. 22 (стр. 54), где на диаграмме пространства-времени описано движение частиц и световых вспышек в двух измерениях. Покажите, что «плоскость одновременности» системы отсчёта ракеты наклонена относительно «плоскости одновременности» лабораторной системы отсчёта. Разберитесь, какую роль играет этот наклон для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси x диаграммы пространства-времени лабораторной системы отсчёта и для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси y диаграммы пространства-времени лабораторной системы.

к) Рассмотрите системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси x лабораторной системы отсчёта. Проверьте выводы из диаграммы на рис. 70, в частности обратный знак для эффекта относительной синхронизации часов, но один и тот же характер эффекта замедления хода времени (по сравнению со случаем ракеты, движущейся в положительном направлении оси x).

Рис. 70. Положение пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси x лабораторной системы отсчёта.

49. Парадокс часов. II — подробный пример 1)

1) Е. Lowry, American Journal of Physics, 31, 59 (1963).

Вернувшись из своего 14-летнего путешествия, Пётр (см. упражнение 27) ещё достаточно, молод для того, чтобы взяться за изучение теории относительности. Но чем больше он ей занимается, тем сильнее запутывается. Поскольку как он, так и его брат Павел находились в относительном движении друг относительно друга, то оба должны наблюдать замедление хода часов друг друга. Будучи вложено в уста Павла, это простое утверждение позволяет без труда понять, почему часы Петра, как и процесс старения организма Петра, шли замедленно, так что Пётр оказался моложе своего брата-близнеца после возвращения. Но ведь если это утверждение справедливо,— рассуждает Пётр,— то почему не я, когда я провожу исследование, обнаруживаю, что часы Павла идут замедленно? Как же это он смог постареть сильнее, чем я? Вопрос: как разрешить затруднения Петра?

Решение. По мере того как Пётр, обуреваемый сомнениями, всё глубже изучал теорию, он обнаруживал, что такие слова, как «наблюдатель» и «наблюдаемый интервал времени», не сводятся к тем простым понятиям, к которым он сводил их первоначально. Он не думал раньше о том, как он мог бы непосредственно день за днём контролировать процесс старения Павла, остававшегося на Земле, используя для этого радиопередачи или иные способы. Пётр обнаружил, что, хотя эта процедура и выполнима, её анализ отнюдь не прост. Он обнаружил, что в теории относительности «наблюдателя» следует понимать как целую систему стержней и хронометров, движущуюся с постоянной скоростью — в данном случае с той же, с какой сам Пётр удаляется от Земли (r=24/25=0,96). Эта непрерывная цепочка часов («часы Петра и система отсчёта Петра») всё время пролетает мимо Земли. Каждые часы, пролетая мимо Павла, регистрируют: 1) показания часов Павла и 2) свои собственные показания и положение. Когда мы говорим скороговоркой, что «Пётр наблюдает Павла», это значит, что Пётр собирает когда-то позднее все эти зарегистрированные данные.

«Ну, и что же? — спрашивает сам себя Пётр на этом этапе.— Я так или иначе знаю, что показания часов Павла изменяются между каждыми двумя последующими регистрациями только на 1-r=7/25 той величины, на которую изменяются показания моих часов. Значит, именно Павел должен был оказаться моложе в конце путешествия, а не я. Но вы посмотрите только, как он поседел! Значит, я в чём-то ошибаюсь...».

Мысленно перебирая вновь этапы своего путешествия, Пётр не мог не вспомнить того момента, когда он перестал удаляться от Земли и когда началось его возвращение. «Я остановился; я начал двигаться назад, но...— внезапно спросил он сам себя,— но моя инерциальная система отсчёта?! Как могла полететь назад инерциальная система?» И он начал придирчиво разбираться в этом вопросе. Для него стала ясной необходимость признать, что использовавшаяся в первой части его путешествия система отсчёта (и, в частности, его сетка часов, регистрировавшая информацию в течение всех семи лет удаления от Земли) должна была продолжать своё стремительное движение, подобно потоку машин на автостраде, когда всего один автомобиль разворачивается и направляется назад. При возвращении домой Петра сопровождал другой поток часов — вторая инерциальная система отсчёта. Все семь лет обратного пути рядом с ним летели одни и те же часы этого второго потока. Когда эти часы приняли эстафету, на них было поставлено время (7 лет), которое показывали улетевшие часы. И они показали 14 лет в тот момент, когда Пётр вновь встретил Павла.

Возвращавшаяся цепочка часов пролетала мимо Земли все эти семь лет. Одни за другими они регистрировали свои собственные показания и показания часов Павла. Отпечатанные этими последними часами регистрационные карточки ложились всё более и более высокой кучей у ног Павла. И на протяжении всех этих семи лет возвращения карточки показывали, что часы Павла регистрируют лишь 7/25 проходящего времени. А 7/25 от семи лет — это 1,96 года.

Рис. 71. Как Пётр проводит учёт процесса старения Павла.

В период удаления Петра (отрезок OT на диаграмме) его часы показали, что прошло семь лет. Его сопровождала цепочка синхронизированных часов, каждые из которых дали сигнал конца седьмого года полёта в соответствующем пункте «линии одновременности» AT, отметив это на своей регистрационной карточке. Те часы системы отсчёта Петра, которые дали этот сигнал в мировой точке A, зафиксировали, что там часы Павла показали лишь 1,96 года («замедление хода часов, наблюдаемое из движущейся системы отсчёта») На обратном пути Петра сопровождала другая цепочка синхронизированных часов («вторая инерциальная система отсчёта»). Каждые из них на линии одновременности BT показывали время 7 лет. Те часы, которые двигались вместе с Петром, отсчитали на мировой линии TC ещё семь лет, так что последний год был четырнадцатым годом путешествия Петра, в конце которого он встретился с Павлом в мировой точке C. На участке BC, когда часы в связанной с Петром системе отсчёта показали, что прошло 7 лет, Павел снова состарился лишь на 1,96 года (снова «замедление хода часов, наблюдаемое из движущейся системы отсчёта»). Но учёт, проделанный до сих пор из двух инерциальных систем Петра, ещё не полон. Ни в одной из этих систем не учтён отрезок AB, также соответствующий прошедшему времени. Этот отрезок составляет 46,08 года («поправка на изменение линии одновременности» для двух систем отсчёта Петра — удаляющейся и возращающейся вместе с ним). Итак, замедление хода часов Павла, наблюдаемое двумя системами хронографов Петра, никак не помешает Петру вернуться к Павлу более молодым, чем окажется этот последний.